Leitfaden zur Lösung kubischer Gleichungen

 

                  In der Schulmathematik wird das Lösen von  kubischen Gleichungen nur am

                  Rande behandelt.

                  Bei einer gegebenen Gleichung muss hier in der Regel eine Lösung erraten

                  werden oder ist bereits vorgegeben. Dann folgt eine Polynomdivision durch

                  den Linearfaktor . Es bleibt schließlich eine quadratische Gleichung

                  übrig, die mit der Lösungsformel    bearbeitet wird.

 

                  Doch wie geht man vor, wenn bei einer kubischen Gleichung eine Nullstelle

                  nicht erraten werden kann? Wie löst man die allgemeine kubische Gleichung?

 

                  Zunächst einmal hat die allgemeine kubische Gleichung die Form:

 

                                                mit         und   

 

                       Jede kubische Gleichung hat im Bereich der komplexen Zahlen drei Lösungen,

                  wobei eine Lösung stets reell ist. Die anderen beiden sind entweder auch reell

                  oder konjugiert komplex.

 

                  Die allgemeine kubische Gleichung  wird nun durch a dividiert und mittels der

                  Substitution  auf die reduzierte Form gebracht, die folgendermaßen

                  lautet:

                                                                              

 

                                   mit              und     

 

  Man erhält also aufgrund der geschickten Substiution eine kubische Gleichung

  ohne quadratisches Glied, wobei y zur gesuchten Lösungsvariable wird.

  Als nächstes muss - ähnlich wie bei quadratischen Gleichungen - eine Diskrimi-

  nante berechnet werden, deren Vorzeichen über das weitere Vorgehen entschei-

  det.

                                              

 

  1. Fall: D > 0:

 

  Ist die Diskriminante D größer Null, so gibt es eine reelle und zwei konjugiert

  komplexe Lösungen. Nach der Berechnung der Kubikwurzeln von

 

                                und        erhält  man:

 

                                   

  Nach der Rücksubstitution  bekommt man die endgültigen

  Lösungen.

 

 

  2.Fall: D = 0:

 

  Die Diskriminante kann auf zwei Arten Null werden.

 

  Dies tritt einerseits ein, wenn gilt: 

  Folglich ist  und die Ausgangsgleichung hat die dreifache reelle

  Lösung.

                                            

 

  Andererseits ist D = 0, wenn gilt: 

  Hier gibt es dann drei reelle Lösungen, von denen zwei miteinander überein-

  stimmen:

                                                          

  Die Rücksubstitution  ergibt wieder das Endergebnis.

 

  3.Fall: D < 0:

 

  In diesem Fall existieren drei verschiedene reelle Lösungen:

                                              

                          mit                und     

  Um die endgültigen Lösungen zu erhalten, darf auch hier die Rücksubstitution

     nicht vergessen werden.